Henri Poincare toward the emergence of the concept of limit cycle

Henri Poincaré et l'émergence du concept de cycle limite

Jean-Marc Ginoux (1)

1 PROTEE - Processus de Transfert et d'Echanges dans l'Environnement - EA 3819

The concept of "limit cycle" was introduced by Henri Poincaré in his second memoir "On curves defined by a differential equation" in 1882. From the point of view of physics, a stable limit cycle (or attractive) is the representation of the periodic solution of a (mechanical or electrical) dissipative system whose oscillations are maintained by the system itself. Conversely, the existence of a stable limit cycle ensures the maintenance of the oscillations. So far, the historiography considered that the Russian mathematician Aleksandr Andronov was the first to establish such a correspondence between the periodic solution of a self-oscillating system and Poincaré's concept of limit cycle. The recent discovery of a series of lectures given by Henri Poincaré in 1908 at the School of Post and Telegraph (now Telecom Paris Tech) proves that he had already used his limit cycle concept to establish the existence of a regime of maintained waves in a wireless device of radiotechnics. This article aims on the one hand to trace the emergence of this concept since its creation by Poincaré and the other hand to highlight its importance and role in the history of non-linear oscillations.

Le concept de « cycle limite » fut introduit par Henri Poincaré dans son second mémoire « Sur les courbes définies par une équation différentielle » en 1882. Du point de vue de la Physique, un cycle limite stable (ou attractif) correspond à la représentation de la solution périodique d'un système (mécanique ou électrique) dissipatif dont les oscillations sont entretenues par le système lui-même. Inversement, l'existence d'un cycle limite stable garantit l'entretien des oscillations. Jusqu'à présent, l'historiographie considérait que le mathématicien russe Aleksandr' Andronov avait été le tout premier à établir une telle correspondance entre la solution périodique d'un système auto-oscillant et le concept de cycle limite de Poincaré. La découverte récente d'une série de conférences réalisées par Henri Poincaré en 1908 à l'Ecole Supérieure des Postes et Télégraphes (aujourd'hui Telecom Paris Tech) démontre qu'il avait déjà mis en application son concept de cycle limite pour établir l'existence d'un régime stable d'ondes entretenues dans un dispositif de la T.S.F. (Télégraphie Sans Fil.) Cet article a donc pour objet d'une part de retracer l'émergence de ce concept depuis sa création par Poincaré et, d'autre part de mettre en évidence l'importance de son rôle dans l'histoire des oscillations non linéaires.

Domains: Dynamical Systems [math.DS]

Jean-Marc Ginoux. Henri Poincaré et l'émergence du concept de cycle limite. Quadrature, 2012, Quadrature, pp.45-51. ⟨hal-01101641v2⟩